Phép biến đổi Laplace là cách tiếp cận miền tần số cho các tín hiệu thời gian liên tục bất kể hệ thống có ổn định hay không ổn định. Phép biến đổi Laplace của hàm số f(t), được định nghĩa cho tất cả số thực t ≥ 0, là hàm số F(s), Đó là một biến đổi đơn phương được định nghĩa bởi:

                                          L                          {        f        (        t        )        }        =        F        (        s        )        =                  ∫                                    0                              −                                                          ∞                          f        (        t        )                  e                      −            s            t                          d        t              {\displaystyle {\mathcal {L}}\{f(t)\}=F(s)=\int \limits _{0^{-}}^{\infty }f(t)e^{-st}dt}  

Trong đó s {\displaystyle s} là biến số phức cho bởi s = σ + j ω {\displaystyle s=\sigma +j\omega } , s {\displaystyle s} là miền tần số và có đơn vị là nghịch đảo của giây (second) s − 1 {\displaystyle s^{-1}}

Giới hạn 0 − {\displaystyle 0^{-}} chỉ rõ thời điểm bắt đầu ngay trước khi t = 0 {\displaystyle t=0} , chúng ta dùng giới hạn thấp 0 − {\displaystyle 0^{-}} để lấy tận gốc hàm số f ( t ) {\displaystyle f(t)} tại thời điểm t = 0 {\displaystyle t=0} .

Biến đổi Laplace hai phía

Một khi nói "biến đổi Laplace" mà không chú ý thêm gì, thường là ta nói đến biến đổi một phía. Biến đổi Laplace có thể được định nghĩa là biến đổi Laplace hai phía bằng cách mở rộng giới hạn của tích phân đến âm vô cực.

F ( s ) = L { f ( t ) } = ∫ − ∞ ∞ f ( t ) e − s t d t {\displaystyle F(s)={\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}=\int _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-st}dt}

Nếu như vậy, biến đổi Laplace một phía đơn giản trở thành một trường hợp đặc biệt của biến đổi Laplace hai phía, xác định bằng cách lấy hàm đã chuyển đổi nhân với hàm bước nhảy Heaviside.

Biến đổi Laplace ngược

Biến đổi Laplace ngược giúp chúng ta tìm lại hàm gốc f(t) từ hàm ảnh F(s). Biến đổi Laplace ngược được định nghĩa bởi tích phân sau.

L − 1 { F ( s ) } = f ( t ) = 1 2 π i ∫ γ − i ∞ γ + i ∞ e s t F ( s ) d s {\displaystyle {\mathcal {L}}^{-1}\left\{F(s)\right\}=f(t)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma -i\infty }^{\gamma +i\infty }e^{st}F(s)ds}

Nhưng thông thường chúng ta ít dùng đến tích phân này để tính hàm gốc mà dùng bảng "các hàm gốc – hàm ảnh tương ứng" đã có sẵn để tìm lại hàm gốc f(t).